解決{l}{x+y=-1}{4x-2y=-16} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { 4 x - 2 y = - 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=-1$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y-1$$

在另一個方程式 4x-2y=-16 中以 -y-1 代入 x在方程式。

$$4\left(-y-1\right)-2y=-16$$

4 乘上 -y-1。

$$-4y-4-2y=-16$$

將 -4y 加到 -2y。

$$-6y-4=-16$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$-6y=-12$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=2$$

在 x=-y-1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2-1$$

將 -1 加到 -2。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4}&-\frac{1}{-2-4}\\-\frac{4}{-2-4}&\frac{1}{-2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4y=4\left(-1\right),4x-2y=-16$$

化簡。

$$4x+4y=-4,4x-2y=-16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+4y=-4 減去 4x-2y=-16。

$$4x-4x+4y+2y=-4+16$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+2y=-4+16$$

將 4y 加到 2y。

$$6y=-4+16$$

將 -4 加到 16。

$$6y=12$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=2$$

在 4x-2y=-16 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-2\times 2=-16$$

-2 乘上 2。

$$4x-4=-16$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$4x=-12$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$