解決{l}{x+my=a}{x-ny=b} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+my=a$$

從方程式兩邊減去 my。

$$x=\left(-m\right)y+a$$

在另一個方程式 x+\left(-n\right)y=b 中以 a-my 代入 x在方程式。

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

將 -my 加到 -ny。

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

從方程式兩邊減去 a。

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

將兩邊同時除以 -m-n。

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

在 x=\left(-m\right)y+a 中以 -\frac{b-a}{m+n} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-m 乘上 -\frac{b-a}{m+n}。

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

將 a 加到 \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}。

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+my=a 減去 x+\left(-n\right)y=b。

$$x-x+my+ny=a-b$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$my+ny=a-b$$

將 my 加到 ny。

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

將兩邊同時除以 m+n。

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

在 x+\left(-n\right)y=b 中以 \frac{a-b}{m+n} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

-n 乘上 \frac{a-b}{m+n}。

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

將 \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$