解決{l}{x+5y=5}{3x-2y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+5y=5$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$x=-5y+5$$

在另一個方程式 3x-2y=3 中以 -5y+5 代入 x在方程式。

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

3 乘上 -5y+5。

$$-15y+15-2y=3$$

將 -15y 加到 -2y。

$$-17y+15=3$$

從方程式兩邊減去 15。

$$-17y=-12$$

將兩邊同時除以 -17。

$$y=\frac{12}{17}$$

在 x=-5y+5 中以 \frac{12}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

-5 乘上 \frac{12}{17}。

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

將 5 加到 -\frac{60}{17}。

$$x=\frac{25}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

化簡。

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+15y=15 減去 3x-2y=3。

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y+2y=15-3$$

將 15y 加到 2y。

$$17y=15-3$$

將 15 加到 -3。

$$17y=12$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=\frac{12}{17}$$

在 3x-2y=3 中以 \frac{12}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

-2 乘上 \frac{12}{17}。

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

將 \frac{24}{17} 加到方程式的兩邊。

$$3x=\frac{75}{17}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{25}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$