解決{l}{x+4y=7}{2x-7y=-31} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { 2 x - 7 y = - 31 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-5$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+4y=7$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$x=-4y+7$$

在另一個方程式 2x-7y=-31 中以 -4y+7 代入 x在方程式。

$$2\left(-4y+7\right)-7y=-31$$

2 乘上 -4y+7。

$$-8y+14-7y=-31$$

將 -8y 加到 -7y。

$$-15y+14=-31$$

從方程式兩邊減去 14。

$$-15y=-45$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=3$$

在 x=-4y+7 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times 3+7$$

-4 乘上 3。

$$x=-12+7$$

將 7 加到 -12。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-4\times 2}&-\frac{4}{-7-4\times 2}\\-\frac{2}{-7-4\times 2}&\frac{1}{-7-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\times 7+\frac{4}{15}\left(-31\right)\\\frac{2}{15}\times 7-\frac{1}{15}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-5,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2\times 4y=2\times 7,2x-7y=-31$$

化簡。

$$2x+8y=14,2x-7y=-31$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+8y=14 減去 2x-7y=-31。

$$2x-2x+8y+7y=14+31$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y+7y=14+31$$

將 8y 加到 7y。

$$15y=14+31$$

將 14 加到 31。

$$15y=45$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=3$$

在 2x-7y=-31 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-7\times 3=-31$$

-7 乘上 3。

$$2x-21=-31$$

將 21 加到方程式的兩邊。

$$2x=-10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=3$$