解決{l}{x+4y=5}{-2x-y=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+4y=5$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$x=-4y+5$$

在另一個方程式 -2x-y=-4 中以 -4y+5 代入 x在方程式。

$$-2\left(-4y+5\right)-y=-4$$

-2 乘上 -4y+5。

$$8y-10-y=-4$$

將 8y 加到 -y。

$$7y-10=-4$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$7y=6$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=\frac{6}{7}$$

在 x=-4y+5 中以 \frac{6}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times \frac{6}{7}+5$$

-4 乘上 \frac{6}{7}。

$$x=-\frac{24}{7}+5$$

將 5 加到 -\frac{24}{7}。

$$x=\frac{11}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-1-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-1-4\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5-\frac{4}{7}\left(-4\right)\\\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{6}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

讓 x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-2x-2\times 4y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

化簡。

$$-2x-8y=-10,-2x-y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-8y=-10 減去 -2x-y=-4。

$$-2x+2x-8y+y=-10+4$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y+y=-10+4$$

將 -8y 加到 y。

$$-7y=-10+4$$

將 -10 加到 4。

$$-7y=-6$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{6}{7}$$

在 -2x-y=-4 中以 \frac{6}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-\frac{6}{7}=-4$$

將 \frac{6}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-\frac{22}{7}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{11}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$