解決{l}{x+2y=7}{y-x=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=7,-x+y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=7$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+7$$

在另一個方程式 -x+y=1 中以 -2y+7 代入 x在方程式。

$$-\left(-2y+7\right)+y=1$$

-1 乘上 -2y+7。

$$2y-7+y=1$$

將 2y 加到 y。

$$3y-7=1$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$3y=8$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{8}{3}$$

在 x=-2y+7 中以 \frac{8}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{8}{3}+7$$

-2 乘上 \frac{8}{3}。

$$x=-\frac{16}{3}+7$$

將 7 加到 -\frac{16}{3}。

$$x=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=7,-x+y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 7-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\times 7+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=7,-x+y=1$$

讓 x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-x-2y=-7,-x+y=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x-2y=-7 減去 -x+y=1。

$$-x+x-2y-y=-7-1$$

將 -x 加到 x。 -x 和 x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-y=-7-1$$

將 -2y 加到 -y。

$$-3y=-7-1$$

將 -7 加到 -1。

$$-3y=-8$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=\frac{8}{3}$$

在 -x+y=1 中以 \frac{8}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+\frac{8}{3}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{3}。

$$-x=-\frac{5}{3}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=\frac{5}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$