解決{l}{x+2y=7}{4x+3y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=7$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+7$$

在另一個方程式 4x+3y=3 中以 -2y+7 代入 x在方程式。

$$4\left(-2y+7\right)+3y=3$$

4 乘上 -2y+7。

$$-8y+28+3y=3$$

將 -8y 加到 3y。

$$-5y+28=3$$

從方程式兩邊減去 28。

$$-5y=-25$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=5$$

在 x=-2y+7 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times 5+7$$

-2 乘上 5。

$$x=-10+7$$

將 7 加到 -10。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=3$$

化簡。

$$4x+8y=28,4x+3y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+8y=28 減去 4x+3y=3。

$$4x-4x+8y-3y=28-3$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-3y=28-3$$

將 8y 加到 -3y。

$$5y=28-3$$

將 28 加到 -3。

$$5y=25$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=5$$

在 4x+3y=3 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+3\times 5=3$$

3 乘上 5。

$$4x+15=3$$

從方程式兩邊減去 15。

$$4x=-12$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=5$$