解決{l}{x+2y=60}{x-y=30} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x=40$$

$$y=10$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=60,x-y=30$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=60$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+60$$

在另一個方程式 x-y=30 中以 -2y+60 代入 x在方程式。

$$-2y+60-y=30$$

將 -2y 加到 -y。

$$-3y+60=30$$

從方程式兩邊減去 60。

$$-3y=-30$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=10$$

在 x=-2y+60 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times 10+60$$

-2 乘上 10。

$$x=-20+60$$

將 60 加到 -20。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=10$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=60,x-y=30$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=40,y=10$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=60,x-y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+2y=60 減去 x-y=30。

$$x-x+2y+y=60-30$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+y=60-30$$

將 2y 加到 y。

$$3y=60-30$$

將 60 加到 -30。

$$3y=30$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=10$$

在 x-y=30 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-10=30$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=10$$