解決{l}{x+2y=2}{x-3y=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=2$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+2$$

在另一個方程式 x-3y=-5 中以 -2y+2 代入 x在方程式。

$$-2y+2-3y=-5$$

將 -2y 加到 -3y。

$$-5y+2=-5$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-5y=-7$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=\frac{7}{5}$$

在 x=-2y+2 中以 \frac{7}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{7}{5}+2$$

-2 乘上 \frac{7}{5}。

$$x=-\frac{14}{5}+2$$

將 2 加到 -\frac{14}{5}。

$$x=-\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{2}{5}\left(-5\right)\\\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+2y=2 減去 x-3y=-5。

$$x-x+2y+3y=2+5$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+3y=2+5$$

將 2y 加到 3y。

$$5y=2+5$$

將 2 加到 5。

$$5y=7$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{7}{5}$$

在 x-3y=-5 中以 \frac{7}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3\times \frac{7}{5}=-5$$

-3 乘上 \frac{7}{5}。

$$x-\frac{21}{5}=-5$$

將 \frac{21}{5} 加到方程式的兩邊。

$$x=-\frac{4}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$