解決{l}{x+2y=-12}{3x-y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 12 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=-12$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y-12$$

在另一個方程式 3x-y=-1 中以 -2y-12 代入 x在方程式。

$$3\left(-2y-12\right)-y=-1$$

3 乘上 -2y-12。

$$-6y-36-y=-1$$

將 -6y 加到 -y。

$$-7y-36=-1$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$-7y=35$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=-5$$

在 x=-2y-12 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-5\right)-12$$

-2 乘上 -5。

$$x=10-12$$

將 -12 加到 10。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-12\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times 2y=3\left(-12\right),3x-y=-1$$

化簡。

$$3x+6y=-36,3x-y=-1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+6y=-36 減去 3x-y=-1。

$$3x-3x+6y+y=-36+1$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+y=-36+1$$

將 6y 加到 y。

$$7y=-36+1$$

將 -36 加到 1。

$$7y=-35$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=-5$$

在 3x-y=-1 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-\left(-5\right)=-1$$

從方程式兩邊減去 5。

$$3x=-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-5$$