\left\{ \begin{array} { l } { p x + 2 y = - 1 } \\ { 8 x + p y = p + 6 } \end{array} \right.
解 x、y (復數求解)
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3}{p-4}\text{, }y=\frac{p+2}{p-4}\text{, }&p\neq 4\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{4x-1}{2}\text{, }&p=-4\end{matrix}\right.
解 x、y
\left\{\begin{matrix}x=\frac{3}{4-p}\text{, }y=-\frac{p+2}{4-p}\text{, }&|p|\neq 4\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{4x-1}{2}\text{, }&p=-4\end{matrix}\right.
圖表
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px+2y=-1,8x+py=p+6
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
px+2y=-1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
px=-2y-1
從方程式兩邊減去 2y。
x=\frac{1}{p}\left(-2y-1\right)
將兩邊同時除以 p。
x=\left(-\frac{2}{p}\right)y-\frac{1}{p}
\frac{1}{p} 乘上 -2y-1。
8\left(\left(-\frac{2}{p}\right)y-\frac{1}{p}\right)+py=p+6
在另一個方程式 8x+py=p+6 中以 -\frac{1+2y}{p} 代入 x在方程式。
\left(-\frac{16}{p}\right)y-\frac{8}{p}+py=p+6
8 乘上 -\frac{1+2y}{p}。
\left(p-\frac{16}{p}\right)y-\frac{8}{p}=p+6
將 -\frac{16y}{p} 加到 py。
\left(p-\frac{16}{p}\right)y=p+6+\frac{8}{p}
將 \frac{8}{p} 加到方程式的兩邊。
y=\frac{p+2}{p-4}
將兩邊同時除以 p-\frac{16}{p}。
x=\left(-\frac{2}{p}\right)\times \frac{p+2}{p-4}-\frac{1}{p}
在 x=\left(-\frac{2}{p}\right)y-\frac{1}{p} 中以 \frac{2+p}{p-4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{2\left(p+2\right)}{p\left(p-4\right)}-\frac{1}{p}
-\frac{2}{p} 乘上 \frac{2+p}{p-4}。
x=-\frac{3}{p-4}
將 -\frac{1}{p} 加到 -\frac{2\left(2+p\right)}{p\left(p-4\right)}。
x=-\frac{3}{p-4},y=\frac{p+2}{p-4}
現已成功解出系統。
px+2y=-1,8x+py=p+6
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{pp-2\times 8}&-\frac{2}{pp-2\times 8}\\-\frac{8}{pp-2\times 8}&\frac{p}{pp-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}-16}&-\frac{2}{p^{2}-16}\\-\frac{8}{p^{2}-16}&\frac{p}{p^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}-16}\left(-1\right)+\left(-\frac{2}{p^{2}-16}\right)\left(p+6\right)\\\left(-\frac{8}{p^{2}-16}\right)\left(-1\right)+\frac{p}{p^{2}-16}\left(p+6\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4-p}\\-\frac{p+2}{4-p}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{3}{4-p},y=\frac{p+2}{p-4}
解出矩陣元素 x 和 y。
px+2y=-1,8x+py=p+6
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
8px+8\times 2y=8\left(-1\right),p\times 8x+ppy=p\left(p+6\right)
讓 px 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 p。
8px+16y=-8,8px+p^{2}y=p\left(p+6\right)
化簡。
8px+\left(-8p\right)x+16y+\left(-p^{2}\right)y=-8-p\left(p+6\right)
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8px+16y=-8 減去 8px+p^{2}y=p\left(p+6\right)。
16y+\left(-p^{2}\right)y=-8-p\left(p+6\right)
將 8px 加到 -8px。 8px 和 -8px 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\left(16-p^{2}\right)y=-8-p\left(p+6\right)
將 16y 加到 -p^{2}y。
\left(16-p^{2}\right)y=-\left(p+2\right)\left(p+4\right)
將 -8 加到 -p\left(p+6\right)。
y=-\frac{p+2}{4-p}
將兩邊同時除以 -p^{2}+16。
8x+p\left(-\frac{p+2}{4-p}\right)=p+6
在 8x+py=p+6 中以 -\frac{2+p}{-p+4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
8x-\frac{p\left(p+2\right)}{4-p}=p+6
p 乘上 -\frac{2+p}{-p+4}。
8x=\frac{24}{4-p}
將 \frac{p\left(2+p\right)}{-p+4} 加到方程式的兩邊。
x=\frac{3}{4-p}
將兩邊同時除以 8。
x=\frac{3}{4-p},y=-\frac{p+2}{4-p}
現已成功解出系統。
px+2y=-1,8x+py=p+6
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
px+2y=-1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
px=-2y-1
從方程式兩邊減去 2y。
x=\frac{1}{p}\left(-2y-1\right)
將兩邊同時除以 p。
x=\left(-\frac{2}{p}\right)y-\frac{1}{p}
\frac{1}{p} 乘上 -2y-1。
8\left(\left(-\frac{2}{p}\right)y-\frac{1}{p}\right)+py=p+6
在另一個方程式 8x+py=p+6 中以 -\frac{1+2y}{p} 代入 x在方程式。
\left(-\frac{16}{p}\right)y-\frac{8}{p}+py=p+6
8 乘上 -\frac{1+2y}{p}。
\left(p-\frac{16}{p}\right)y-\frac{8}{p}=p+6
將 -\frac{16y}{p} 加到 py。
\left(p-\frac{16}{p}\right)y=p+6+\frac{8}{p}
將 \frac{8}{p} 加到方程式的兩邊。
y=\frac{p+2}{p-4}
將兩邊同時除以 p-\frac{16}{p}。
x=\left(-\frac{2}{p}\right)\times \frac{p+2}{p-4}-\frac{1}{p}
在 x=\left(-\frac{2}{p}\right)y-\frac{1}{p} 中以 \frac{2+p}{-4+p} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{2\left(p+2\right)}{p\left(p-4\right)}-\frac{1}{p}
-\frac{2}{p} 乘上 \frac{2+p}{-4+p}。
x=-\frac{3}{p-4}
將 -\frac{1}{p} 加到 -\frac{2\left(2+p\right)}{p\left(-4+p\right)}。
x=-\frac{3}{p-4},y=\frac{p+2}{p-4}
現已成功解出系統。
px+2y=-1,8x+py=p+6
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&2\\8&p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{pp-2\times 8}&-\frac{2}{pp-2\times 8}\\-\frac{8}{pp-2\times 8}&\frac{p}{pp-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}-16}&-\frac{2}{p^{2}-16}\\-\frac{8}{p^{2}-16}&\frac{p}{p^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\p+6\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}-16}\left(-1\right)+\left(-\frac{2}{p^{2}-16}\right)\left(p+6\right)\\\left(-\frac{8}{p^{2}-16}\right)\left(-1\right)+\frac{p}{p^{2}-16}\left(p+6\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4-p}\\-\frac{p+2}{4-p}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{3}{4-p},y=\frac{p+2}{p-4}
解出矩陣元素 x 和 y。
px+2y=-1,8x+py=p+6
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
8px+8\times 2y=8\left(-1\right),p\times 8x+ppy=p\left(p+6\right)
讓 px 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 p。
8px+16y=-8,8px+p^{2}y=p\left(p+6\right)
化簡。
8px+\left(-8p\right)x+16y+\left(-p^{2}\right)y=-8-p\left(p+6\right)
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8px+16y=-8 減去 8px+p^{2}y=p\left(p+6\right)。
16y+\left(-p^{2}\right)y=-8-p\left(p+6\right)
將 8px 加到 -8px。 8px 和 -8px 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\left(16-p^{2}\right)y=-8-p\left(p+6\right)
將 16y 加到 -p^{2}y。
\left(16-p^{2}\right)y=-\left(p+2\right)\left(p+4\right)
將 -8 加到 -p\left(p+6\right)。
y=-\frac{p+2}{4-p}
將兩邊同時除以 -p^{2}+16。
8x+p\left(-\frac{p+2}{4-p}\right)=p+6
在 8x+py=p+6 中以 -\frac{2+p}{-p+4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
8x-\frac{p\left(p+2\right)}{4-p}=p+6
p 乘上 -\frac{2+p}{-p+4}。
8x=\frac{24}{4-p}
將 \frac{p\left(2+p\right)}{-p+4} 加到方程式的兩邊。
x=\frac{3}{4-p}
將兩邊同時除以 8。
x=\frac{3}{4-p},y=-\frac{p+2}{4-p}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}