解決{l}{m+n=6}{2m-2n=6} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { m + n = 6 } \\ { 2 m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$m+n=6,2m-2n=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$m+n=6$$

從方程式兩邊減去 n。

$$m=-n+6$$

在另一個方程式 2m-2n=6 中以 -n+6 代入 m在方程式。

$$2\left(-n+6\right)-2n=6$$

2 乘上 -n+6。

$$-2n+12-2n=6$$

將 -2n 加到 -2n。

$$-4n+12=6$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-4n=-6$$

將兩邊同時除以 -4。

$$n=\frac{3}{2}$$

在 m=-n+6 中以 \frac{3}{2} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=-\frac{3}{2}+6$$

將 6 加到 -\frac{3}{2}。

$$m=\frac{9}{2}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$m+n=6,2m-2n=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$m+n=6,2m-2n=6$$

讓 m 和 2m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2m+2n=2\times 6,2m-2n=6$$

化簡。

$$2m+2n=12,2m-2n=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2m+2n=12 減去 2m-2n=6。

$$2m-2m+2n+2n=12-6$$

將 2m 加到 -2m。 2m 和 -2m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2n+2n=12-6$$

將 2n 加到 2n。

$$4n=12-6$$

將 12 加到 -6。

$$4n=6$$

將兩邊同時除以 4。

$$n=\frac{3}{2}$$

在 2m-2n=6 中以 \frac{3}{2} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$2m-2\times \frac{3}{2}=6$$

-2 乘上 \frac{3}{2}。

$$2m-3=6$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$2m=9$$

將兩邊同時除以 2。

$$m=\frac{9}{2}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$