解決{l}{a+b=3}{a-b=7} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 3 } \\ { a - b = 7 } \end{array} \right.$$

解 a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+b=3,a-b=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+b=3$$

從方程式兩邊減去 b。

$$a=-b+3$$

在另一個方程式 a-b=7 中以 -b+3 代入 a在方程式。

$$-b+3-b=7$$

將 -b 加到 -b。

$$-2b+3=7$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-2b=4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$b=-2$$

在 a=-b+3 中以 -2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\left(-2\right)+3$$

-1 乘上 -2。

$$a=2+3$$

將 3 加到 2。

$$a=5$$

現已成功解出系統。

$$a=5,b=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+b=3,a-b=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=5,b=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+b=3,a-b=7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a+b=3 減去 a-b=7。

$$a-a+b+b=3-7$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$b+b=3-7$$

將 b 加到 b。

$$2b=3-7$$

將 3 加到 -7。

$$2b=-4$$

將兩邊同時除以 2。

$$b=-2$$

在 a-b=7 中以 -2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-\left(-2\right)=7$$

-1 乘上 -2。

$$a+2=7$$

從方程式兩邊減去 2。

$$a=5$$

現已成功解出系統。

$$a=5,b=-2$$