解決{l}{a+5b=2}{a-2b=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 5 b = 2 } \\ { a - 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$b=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+5b=2,a-2b=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+5b=2$$

從方程式兩邊減去 5b。

$$a=-5b+2$$

在另一個方程式 a-2b=1 中以 -5b+2 代入 a在方程式。

$$-5b+2-2b=1$$

將 -5b 加到 -2b。

$$-7b+2=1$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-7b=-1$$

將兩邊同時除以 -7。

$$b=\frac{1}{7}$$

在 a=-5b+2 中以 \frac{1}{7} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-5\times \frac{1}{7}+2$$

-5 乘上 \frac{1}{7}。

$$a=-\frac{5}{7}+2$$

將 2 加到 -\frac{5}{7}。

$$a=\frac{9}{7}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+5b=2,a-2b=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\times 2-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+5b=2,a-2b=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a+5b=2 減去 a-2b=1。

$$a-a+5b+2b=2-1$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5b+2b=2-1$$

將 5b 加到 2b。

$$7b=2-1$$

將 2 加到 -1。

$$7b=1$$

將兩邊同時除以 7。

$$b=\frac{1}{7}$$

在 a-2b=1 中以 \frac{1}{7} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-2\times \frac{1}{7}=1$$

-2 乘上 \frac{1}{7}。

$$a-\frac{2}{7}=1$$

將 \frac{2}{7} 加到方程式的兩邊。

$$a=\frac{9}{7}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$