解決{l}{a+4b=8}{3b=5-a} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

解 a, b

$$a=-4$$

$$b=3$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 a 至兩側。

$$3b+a=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+4b=8,a+3b=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+4b=8$$

從方程式兩邊減去 4b。

$$a=-4b+8$$

在另一個方程式 a+3b=5 中以 -4b+8 代入 a在方程式。

$$-4b+8+3b=5$$

將 -4b 加到 3b。

$$-b+8=5$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-b=-3$$

將兩邊同時除以 -1。

$$b=3$$

在 a=-4b+8 中以 3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-4\times 3+8$$

-4 乘上 3。

$$a=-12+8$$

將 8 加到 -12。

$$a=-4$$

現已成功解出系統。

$$a=-4,b=3$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 a 至兩側。

$$3b+a=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+4b=8,a+3b=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-4,b=3$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 a 至兩側。

$$3b+a=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+4b=8,a+3b=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a+4b=8 減去 a+3b=5。

$$a-a+4b-3b=8-5$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4b-3b=8-5$$

將 4b 加到 -3b。

$$b=8-5$$

將 8 加到 -5。

$$b=3$$

在 a+3b=5 中以 3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a+3\times 3=5$$

3 乘上 3。

$$a+9=5$$

從方程式兩邊減去 9。

$$a=-4$$

現已成功解出系統。

$$a=-4,b=3$$