解決{l}{a+3b=6}{a-6b=12} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 6 } \\ { a - 6 b = 12 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=8$$

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+3b=6,a-6b=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+3b=6$$

從方程式兩邊減去 3b。

$$a=-3b+6$$

在另一個方程式 a-6b=12 中以 -3b+6 代入 a在方程式。

$$-3b+6-6b=12$$

將 -3b 加到 -6b。

$$-9b+6=12$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-9b=6$$

將兩邊同時除以 -9。

$$b=-\frac{2}{3}$$

在 a=-3b+6 中以 -\frac{2}{3} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-3\left(-\frac{2}{3}\right)+6$$

-3 乘上 -\frac{2}{3}。

$$a=2+6$$

將 6 加到 2。

$$a=8$$

現已成功解出系統。

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+3b=6,a-6b=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-3}&-\frac{3}{-6-3}\\-\frac{1}{-6-3}&\frac{1}{-6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 12\\\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+3b=6,a-6b=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 a+3b=6 減去 a-6b=12。

$$a-a+3b+6b=6-12$$

將 a 加到 -a。 a 和 -a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3b+6b=6-12$$

將 3b 加到 6b。

$$9b=6-12$$

將 6 加到 -12。

$$9b=-6$$

將兩邊同時除以 9。

$$b=-\frac{2}{3}$$

在 a-6b=12 中以 -\frac{2}{3} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a-6\left(-\frac{2}{3}\right)=12$$

-6 乘上 -\frac{2}{3}。

$$a+4=12$$

從方程式兩邊減去 4。

$$a=8$$

現已成功解出系統。

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$