解決{l}{9x-4y=8}{6x-2y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$9x-4y=8$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$9x=4y+8$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 8+4y。

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

在另一個方程式 6x-2y=3 中以 \frac{8+4y}{9} 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

6 乘上 \frac{8+4y}{9}。

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

將 \frac{8y}{3} 加到 -2y。

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{16}{3}。

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{7}{2}$$

在 x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9} 中以 -\frac{7}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

\frac{4}{9} 乘上 -\frac{7}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

將 \frac{8}{9} 與 -\frac{14}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

讓 9x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

化簡。

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 54x-24y=48 減去 54x-18y=27。

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

將 54x 加到 -54x。 54x 和 -54x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-24y+18y=48-27$$

將 -24y 加到 18y。

$$-6y=48-27$$

將 48 加到 -27。

$$-6y=21$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=-\frac{7}{2}$$

在 6x-2y=3 中以 -\frac{7}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

-2 乘上 -\frac{7}{2}。

$$6x+7=3$$

從方程式兩邊減去 7。

$$6x=-4$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$