解決{l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m=1$$

$$n=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$9m-13n=22$$

將 13n 加到方程式的兩邊。

$$9m=13n+22$$

將兩邊同時除以 9。

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

\frac{1}{9} 乘上 13n+22。

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

在另一個方程式 2m+3n=-1 中以 \frac{13n+22}{9} 代入 m在方程式。

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

2 乘上 \frac{13n+22}{9}。

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

將 \frac{26n}{9} 加到 3n。

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

從方程式兩邊減去 \frac{44}{9}。

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{53}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=-1$$

在 m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9} 中以 -1 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

\frac{13}{9} 乘上 -1。

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

將 \frac{22}{9} 與 -\frac{13}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=1$$

現已成功解出系統。

$$m=1,n=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=1,n=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

讓 9m 和 2m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

化簡。

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18m-26n=44 減去 18m+27n=-9。

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

將 18m 加到 -18m。 18m 和 -18m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-26n-27n=44+9$$

將 -26n 加到 -27n。

$$-53n=44+9$$

將 44 加到 9。

$$-53n=53$$

將兩邊同時除以 -53。

$$n=-1$$

在 2m+3n=-1 中以 -1 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

3 乘上 -1。

$$2m-3=-1$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$2m=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$m=1$$

現已成功解出系統。

$$m=1,n=-1$$