解決{l}{8x+y=32}{4x+3y=18} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + y = 32 } \\ { 4 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10} = 3.9$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+y=32$$

從方程式兩邊減去 y。

$$8x=-y+32$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+32\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -y+32。

$$x=-\frac{1}{8}y+4$$

在另一個方程式 4x+3y=18 中以 -\frac{y}{8}+4 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{8}y+4\right)+3y=18$$

4 乘上 -\frac{y}{8}+4。

$$-\frac{1}{2}y+16+3y=18$$

將 -\frac{y}{2} 加到 3y。

$$\frac{5}{2}y+16=18$$

從方程式兩邊減去 16。

$$\frac{5}{2}y=2$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{4}{5}$$

在 x=-\frac{1}{8}y+4 中以 \frac{4}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{4}{5}+4$$

-\frac{1}{8} 乘上 \frac{4}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{1}{10}+4$$

將 4 加到 -\frac{1}{10}。

$$x=\frac{39}{10}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-4}&-\frac{1}{8\times 3-4}\\-\frac{4}{8\times 3-4}&\frac{8}{8\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 32-\frac{1}{20}\times 18\\-\frac{1}{5}\times 32+\frac{2}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{10}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

讓 8x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$4\times 8x+4y=4\times 32,8\times 4x+8\times 3y=8\times 18$$

化簡。

$$32x+4y=128,32x+24y=144$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 32x+4y=128 減去 32x+24y=144。

$$32x-32x+4y-24y=128-144$$

將 32x 加到 -32x。 32x 和 -32x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-24y=128-144$$

將 4y 加到 -24y。

$$-20y=128-144$$

將 128 加到 -144。

$$-20y=-16$$

將兩邊同時除以 -20。

$$y=\frac{4}{5}$$

在 4x+3y=18 中以 \frac{4}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+3\times \frac{4}{5}=18$$

3 乘上 \frac{4}{5}。

$$4x+\frac{12}{5}=18$$

從方程式兩邊減去 \frac{12}{5}。

$$4x=\frac{78}{5}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{39}{10}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$