解決{l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x-8y=9$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$7x=8y+9$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 8y+9。

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

在另一個方程式 4x-13y=-10 中以 \frac{8y+9}{7} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

4 乘上 \frac{8y+9}{7}。

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

將 \frac{32y}{7} 加到 -13y。

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

從方程式兩邊減去 \frac{36}{7}。

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{59}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{106}{59}$$

在 x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7} 中以 \frac{106}{59} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

\frac{8}{7} 乘上 \frac{106}{59} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

將 \frac{9}{7} 與 \frac{848}{413} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{197}{59}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

讓 7x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

化簡。

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x-32y=36 減去 28x-91y=-70。

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-32y+91y=36+70$$

將 -32y 加到 91y。

$$59y=36+70$$

將 36 加到 70。

$$59y=106$$

將兩邊同時除以 59。

$$y=\frac{106}{59}$$

在 4x-13y=-10 中以 \frac{106}{59} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

-13 乘上 \frac{106}{59}。

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

將 \frac{1378}{59} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{788}{59}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{197}{59}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$