解決{l}{7x-6y=-30}{x-4y=-20} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 6 y = - 30 } \\ { x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x-6y=-30$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$7x=6y-30$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(6y-30\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -30+6y。

$$x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}$$

在另一個方程式 x-4y=-20 中以 \frac{-30+6y}{7} 代入 x在方程式。

$$\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}-4y=-20$$

將 \frac{6y}{7} 加到 -4y。

$$-\frac{22}{7}y-\frac{30}{7}=-20$$

將 \frac{30}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{22}{7}y=-\frac{110}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{22}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5$$

在 x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{6}{7}\times 5-\frac{30}{7}$$

\frac{6}{7} 乘上 5。

$$x=\frac{30-30}{7}$$

將 -\frac{30}{7} 與 \frac{30}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&\frac{7}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{22}&-\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-30\right)-\frac{3}{11}\left(-20\right)\\\frac{1}{22}\left(-30\right)-\frac{7}{22}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

讓 7x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$7x-6y=-30,7x+7\left(-4\right)y=7\left(-20\right)$$

化簡。

$$7x-6y=-30,7x-28y=-140$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x-6y=-30 減去 7x-28y=-140。

$$7x-7x-6y+28y=-30+140$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y+28y=-30+140$$

將 -6y 加到 28y。

$$22y=-30+140$$

將 -30 加到 140。

$$22y=110$$

將兩邊同時除以 22。

$$y=5$$

在 x-4y=-20 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-4\times 5=-20$$

-4 乘上 5。

$$x-20=-20$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=5$$