\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.
解 x、y
x=10
y=-9
圖表
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7x+3y=43,4x-3y=67
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
7x+3y=43
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
7x=-3y+43
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)
將兩邊同時除以 7。
x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}
\frac{1}{7} 乘上 -3y+43。
4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67
在另一個方程式 4x-3y=67 中以 \frac{-3y+43}{7} 代入 x在方程式。
-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67
4 乘上 \frac{-3y+43}{7}。
-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67
將 -\frac{12y}{7} 加到 -3y。
-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}
從方程式兩邊減去 \frac{172}{7}。
y=-9
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{33}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}
在 x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7} 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{27+43}{7}
-\frac{3}{7} 乘上 -9。
x=10
將 \frac{43}{7} 與 \frac{27}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=10,y=-9
現已成功解出系統。
7x+3y=43,4x-3y=67
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)
計算。
x=10,y=-9
解出矩陣元素 x 和 y。
7x+3y=43,4x-3y=67
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67
讓 7x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。
28x+12y=172,28x-21y=469
化簡。
28x-28x+12y+21y=172-469
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x+12y=172 減去 28x-21y=469。
12y+21y=172-469
將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
33y=172-469
將 12y 加到 21y。
33y=-297
將 172 加到 -469。
y=-9
將兩邊同時除以 33。
4x-3\left(-9\right)=67
在 4x-3y=67 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
4x+27=67
-3 乘上 -9。
4x=40
從方程式兩邊減去 27。
x=10
將兩邊同時除以 4。
x=10,y=-9
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}