解決{l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$2x-6+5=y-1$$

將 -6 與 5 相加可以得到 -1。

$$2x-1=y-1$$

從兩邊減去 y。

$$2x-1-y=-1$$

新增 1 至兩側。

$$2x-y=-1+1$$

將 -1 與 1 相加可以得到 0。

$$2x-y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+18y=43$$

從方程式兩邊減去 18y。

$$7x=-18y+43$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -18y+43。

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

在另一個方程式 2x-y=0 中以 \frac{-18y+43}{7} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

2 乘上 \frac{-18y+43}{7}。

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

將 -\frac{36y}{7} 加到 -y。

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{86}{7}。

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{43}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

-\frac{18}{7} 乘上 2。

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

將 \frac{43}{7} 與 -\frac{36}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$2x-6+5=y-1$$

將 -6 與 5 相加可以得到 -1。

$$2x-1=y-1$$

從兩邊減去 y。

$$2x-1-y=-1$$

新增 1 至兩側。

$$2x-y=-1+1$$

將 -1 與 1 相加可以得到 0。

$$2x-y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=2$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$2x-6+5=y-1$$

將 -6 與 5 相加可以得到 -1。

$$2x-1=y-1$$

從兩邊減去 y。

$$2x-1-y=-1$$

新增 1 至兩側。

$$2x-y=-1+1$$

將 -1 與 1 相加可以得到 0。

$$2x-y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

讓 7x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

化簡。

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14x+36y=86 減去 14x-7y=0。

$$14x-14x+36y+7y=86$$

將 14x 加到 -14x。 14x 和 -14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36y+7y=86$$

將 36y 加到 7y。

$$43y=86$$

將兩邊同時除以 43。

$$y=2$$

在 2x-y=0 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-2=0$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$2x=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=2$$