解決{l}{7n+46=a}{11n+2=a} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 n + 46 = a } \\ { 11 n + 2 = a } \end{array} \right.$$

解 n、a

$$n=11$$

$$a=123$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 a。

$$7n+46-a=0$$

從兩邊減去 46。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$7n-a=-46$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 a。

$$11n+2-a=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$11n-a=-2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 n: 將 n 單獨置於等號的左邊。

$$7n-a=-46$$

將 a 加到方程式的兩邊。

$$7n=a-46$$

將兩邊同時除以 7。

$$n=\frac{1}{7}\left(a-46\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 a-46。

$$n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}$$

在另一個方程式 11n-a=-2 中以 \frac{-46+a}{7} 代入 n在方程式。

$$11\left(\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}\right)-a=-2$$

11 乘上 \frac{-46+a}{7}。

$$\frac{11}{7}a-\frac{506}{7}-a=-2$$

將 \frac{11a}{7} 加到 -a。

$$\frac{4}{7}a-\frac{506}{7}=-2$$

將 \frac{506}{7} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{4}{7}a=\frac{492}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{4}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$a=123$$

在 n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7} 中以 123 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 n。

$$n=\frac{1}{7}\times 123-\frac{46}{7}$$

\frac{1}{7} 乘上 123。

$$n=\frac{123-46}{7}$$

將 -\frac{46}{7} 與 \frac{123}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n=11$$

現已成功解出系統。

$$n=11,a=123$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 a。

$$7n+46-a=0$$

從兩邊減去 46。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$7n-a=-46$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 a。

$$11n+2-a=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$11n-a=-2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-46\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{11}{4}\left(-46\right)+\frac{7}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\123\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 n 和 a。

$$n=11,a=123$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 a。

$$7n+46-a=0$$

從兩邊減去 46。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$7n-a=-46$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 a。

$$11n+2-a=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$11n-a=-2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7n-a=-46 減去 11n-a=-2。

$$7n-11n-a+a=-46+2$$

將 -a 加到 a。 -a 和 a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7n-11n=-46+2$$

將 7n 加到 -11n。

$$-4n=-46+2$$

將 -46 加到 2。

$$-4n=-44$$

將兩邊同時除以 -4。

$$n=11$$

在 11n-a=-2 中以 11 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$11\times 11-a=-2$$

11 乘上 11。

$$121-a=-2$$

從方程式兩邊減去 121。

$$-a=-123$$

將兩邊同時除以 -1。

$$a=123$$

現已成功解出系統。

$$n=11,a=123$$