解決{l}{64-4x+4y=0}{4x-8y+32=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 64 - 4 x + 4 y = 0 } \\ { 4 x - 8 y + 32 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=40$$

$$y=24$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-4x+4y+64=0,4x-8y+32=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-4x+4y+64=0$$

從方程式兩邊減去 64。

$$-4x+4y=-64$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-4x=-4y-64$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4y-64\right)$$

-\frac{1}{4} 乘上 -4y-64。

$$x=y+16$$

在另一個方程式 4x-8y+32=0 中以 y+16 代入 x在方程式。

$$4\left(y+16\right)-8y+32=0$$

4 乘上 y+16。

$$4y+64-8y+32=0$$

將 4y 加到 -8y。

$$-4y+64+32=0$$

將 64 加到 32。

$$-4y+96=0$$

從方程式兩邊減去 96。

$$-4y=-96$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=24$$

在 x=y+16 中以 24 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=24+16$$

將 16 加到 24。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=24$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-4x+4y+64=0,4x-8y+32=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-4&4\\4&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\-32\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&4\\4&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&4\\4&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&4\\4&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&4\\4&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\-32\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&4\\4&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\-32\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&4\\4&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\-32\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-4\left(-8\right)-4\times 4}&-\frac{4}{-4\left(-8\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{-4\left(-8\right)-4\times 4}&-\frac{4}{-4\left(-8\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\-32\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\-32\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-64\right)-\frac{1}{4}\left(-32\right)\\-\frac{1}{4}\left(-64\right)-\frac{1}{4}\left(-32\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\24\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=40,y=24$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-4x+4y+64=0,4x-8y+32=0$$

讓 -4x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。

$$4\left(-4\right)x+4\times 4y+4\times 64=0,-4\times 4x-4\left(-8\right)y-4\times 32=0$$

化簡。

$$-16x+16y+256=0,-16x+32y-128=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -16x+16y+256=0 減去 -16x+32y-128=0。

$$-16x+16x+16y-32y+256+128=0$$

將 -16x 加到 16x。 -16x 和 16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16y-32y+256+128=0$$

將 16y 加到 -32y。

$$-16y+256+128=0$$

將 256 加到 128。

$$-16y+384=0$$

從方程式兩邊減去 384。

$$-16y=-384$$

將兩邊同時除以 -16。

$$y=24$$

在 4x-8y+32=0 中以 24 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-8\times 24+32=0$$

-8 乘上 24。

$$4x-192+32=0$$

將 -192 加到 32。

$$4x-160=0$$

將 160 加到方程式的兩邊。

$$4x=160$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=24$$