解決{l}{6x-5y=3}{3x+2y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-5y=3$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$6x=5y+3$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 5y+3。

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 3x+2y=12 中以 \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

3 乘上 \frac{5y}{6}+\frac{1}{2}。

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

將 \frac{5y}{2} 加到 2y。

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{7}{3}$$

在 x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2} 中以 \frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

\frac{5}{6} 乘上 \frac{7}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{35}{18} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{22}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

讓 6x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

化簡。

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x-15y=9 減去 18x+12y=72。

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y-12y=9-72$$

將 -15y 加到 -12y。

$$-27y=9-72$$

將 9 加到 -72。

$$-27y=-63$$

將兩邊同時除以 -27。

$$y=\frac{7}{3}$$

在 3x+2y=12 中以 \frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

2 乘上 \frac{7}{3}。

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{14}{3}。

$$3x=\frac{22}{3}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{22}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$