解決{l}{6x-4y=30}{2x+6y=-34} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 4 y = 30 } \\ { 2 x + 6 y = - 34 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-4y=30$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$6x=4y+30$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(4y+30\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 4y+30。

$$x=\frac{2}{3}y+5$$

在另一個方程式 2x+6y=-34 中以 \frac{2y}{3}+5 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{2}{3}y+5\right)+6y=-34$$

2 乘上 \frac{2y}{3}+5。

$$\frac{4}{3}y+10+6y=-34$$

將 \frac{4y}{3} 加到 6y。

$$\frac{22}{3}y+10=-34$$

從方程式兩邊減去 10。

$$\frac{22}{3}y=-44$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{22}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-6$$

在 x=\frac{2}{3}y+5 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{3}\left(-6\right)+5$$

\frac{2}{3} 乘上 -6。

$$x=-4+5$$

將 5 加到 -4。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 30+\frac{1}{11}\left(-34\right)\\-\frac{1}{22}\times 30+\frac{3}{22}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

讓 6x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$2\times 6x+2\left(-4\right)y=2\times 30,6\times 2x+6\times 6y=6\left(-34\right)$$

化簡。

$$12x-8y=60,12x+36y=-204$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-8y=60 減去 12x+36y=-204。

$$12x-12x-8y-36y=60+204$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y-36y=60+204$$

將 -8y 加到 -36y。

$$-44y=60+204$$

將 60 加到 204。

$$-44y=264$$

將兩邊同時除以 -44。

$$y=-6$$

在 2x+6y=-34 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+6\left(-6\right)=-34$$

6 乘上 -6。

$$2x-36=-34$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$2x=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-6$$