\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 3 y = 12 } \\ { 2 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=2
圖表
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6x-3y=12,2x+2y=10
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
6x-3y=12
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
6x=3y+12
將 3y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{6}\left(3y+12\right)
將兩邊同時除以 6。
x=\frac{1}{2}y+2
\frac{1}{6} 乘上 12+3y。
2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+2y=10
在另一個方程式 2x+2y=10 中以 \frac{y}{2}+2 代入 x在方程式。
y+4+2y=10
2 乘上 \frac{y}{2}+2。
3y+4=10
將 y 加到 2y。
3y=6
從方程式兩邊減去 4。
y=2
將兩邊同時除以 3。
x=\frac{1}{2}\times 2+2
在 x=\frac{1}{2}y+2 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=1+2
\frac{1}{2} 乘上 2。
x=3
將 2 加到 1。
x=3,y=2
現已成功解出系統。
6x-3y=12,2x+2y=10
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{6}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
6x-3y=12,2x+2y=10
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 12,6\times 2x+6\times 2y=6\times 10
讓 6x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。
12x-6y=24,12x+12y=60
化簡。
12x-12x-6y-12y=24-60
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-6y=24 減去 12x+12y=60。
-6y-12y=24-60
將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-18y=24-60
將 -6y 加到 -12y。
-18y=-36
將 24 加到 -60。
y=2
將兩邊同時除以 -18。
2x+2\times 2=10
在 2x+2y=10 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x+4=10
2 乘上 2。
2x=6
從方程式兩邊減去 4。
x=3
將兩邊同時除以 2。
x=3,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}