解決{l}{6x-2y=4}{y=5x+3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-2y=4$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$6x=2y+4$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 4+2y。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 -5x+y=3 中以 \frac{2+y}{3} 代入 x在方程式。

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

-5 乘上 \frac{2+y}{3}。

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

將 -\frac{5y}{3} 加到 y。

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{19}{2}$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} 中以 -\frac{19}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 -\frac{19}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 -\frac{19}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

讓 6x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

化簡。

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -30x+10y=-20 減去 -30x+6y=18。

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

將 -30x 加到 30x。 -30x 和 30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-6y=-20-18$$

將 10y 加到 -6y。

$$4y=-20-18$$

將 -20 加到 -18。

$$4y=-38$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-\frac{19}{2}$$

在 -5x+y=3 中以 -\frac{19}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

將 \frac{19}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-5x=\frac{25}{2}$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$