解決{l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x-18y=-85$$

將 18y 加到方程式的兩邊。

$$6x=18y-85$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 18y-85。

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

在另一個方程式 24x-5y=-5 中以 3y-\frac{85}{6} 代入 x在方程式。

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

24 乘上 3y-\frac{85}{6}。

$$72y-340-5y=-5$$

將 72y 加到 -5y。

$$67y-340=-5$$

將 340 加到方程式的兩邊。

$$67y=335$$

將兩邊同時除以 67。

$$y=5$$

在 x=3y-\frac{85}{6} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

3 乘上 5。

$$x=15-\frac{85}{6}$$

將 -\frac{85}{6} 加到 15。

$$x=\frac{5}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

讓 6x 和 24x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 24，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

化簡。

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 144x-432y=-2040 減去 144x-30y=-30。

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

將 144x 加到 -144x。 144x 和 -144x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-432y+30y=-2040+30$$

將 -432y 加到 30y。

$$-402y=-2040+30$$

將 -2040 加到 30。

$$-402y=-2010$$

將兩邊同時除以 -402。

$$y=5$$

在 24x-5y=-5 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$24x-5\times 5=-5$$

-5 乘上 5。

$$24x-25=-5$$

將 25 加到方程式的兩邊。

$$24x=20$$

將兩邊同時除以 24。

$$x=\frac{5}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{6},y=5$$