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解 x、y
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6x+y=-9,2x-3y=7
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
6x+y=-9
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
6x=-y-9
從方程式兩邊減去 y。
x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)
將兩邊同時除以 6。
x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}
\frac{1}{6} 乘上 -y-9。
2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7
在另一個方程式 2x-3y=7 中以 -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} 代入 x在方程式。
-\frac{1}{3}y-3-3y=7
2 乘上 -\frac{y}{6}-\frac{3}{2}。
-\frac{10}{3}y-3=7
將 -\frac{y}{3} 加到 -3y。
-\frac{10}{3}y=10
將 3 加到方程式的兩邊。
y=-3
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{10}{3},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}
在 x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=\frac{1-3}{2}
-\frac{1}{6} 乘上 -3。
x=-1
將 -\frac{3}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
x=-1,y=-3
現已成功解出系統。
6x+y=-9,2x-3y=7
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=-3
解出矩陣元素 x 和 y。
6x+y=-9,2x-3y=7
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7
讓 6x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。
12x+2y=-18,12x-18y=42
化簡。
12x-12x+2y+18y=-18-42
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 12x+2y=-18 減去 12x-18y=42。
2y+18y=-18-42
將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
20y=-18-42
將 2y 加到 18y。
20y=-60
將 -18 加到 -42。
y=-3
將兩邊同時除以 20。
2x-3\left(-3\right)=7
在 2x-3y=7 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
2x+9=7
-3 乘上 -3。
2x=-2
從方程式兩邊減去 9。
x=-1
將兩邊同時除以 2。
x=-1,y=-3
現已成功解出系統。