\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-1
y=-3
圖表
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6x+y=-9,2x-3y=7
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
6x+y=-9
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
6x=-y-9
從方程式兩邊減去 y。
x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)
將兩邊同時除以 6。
x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}
\frac{1}{6} 乘上 -y-9。
2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7
在另一個方程式 2x-3y=7 中以 -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} 代入 x在方程式。
-\frac{1}{3}y-3-3y=7
2 乘上 -\frac{y}{6}-\frac{3}{2}。
-\frac{10}{3}y-3=7
將 -\frac{y}{3} 加到 -3y。
-\frac{10}{3}y=10
將 3 加到方程式的兩邊。
y=-3
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}
在 x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{1-3}{2}
-\frac{1}{6} 乘上 -3。
x=-1
將 -\frac{3}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-1,y=-3
現已成功解出系統。
6x+y=-9,2x-3y=7
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=-3
解出矩陣元素 x 和 y。
6x+y=-9,2x-3y=7
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7
讓 6x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。
12x+2y=-18,12x-18y=42
化簡。
12x-12x+2y+18y=-18-42
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+2y=-18 減去 12x-18y=42。
2y+18y=-18-42
將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
20y=-18-42
將 2y 加到 18y。
20y=-60
將 -18 加到 -42。
y=-3
將兩邊同時除以 20。
2x-3\left(-3\right)=7
在 2x-3y=7 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x+9=7
-3 乘上 -3。
2x=-2
從方程式兩邊減去 9。
x=-1
將兩邊同時除以 2。
x=-1,y=-3
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}