解決{l}{6x+8y=20}{5y+3x=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+8y=20$$

從方程式兩邊減去 8y。

$$6x=-8y+20$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+20\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -8y+20。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 3x+5y=8 中以 \frac{-4y+10}{3} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}\right)+5y=8$$

3 乘上 \frac{-4y+10}{3}。

$$-4y+10+5y=8$$

將 -4y 加到 5y。

$$y+10=8$$

從方程式兩邊減去 10。

$$y=-2$$

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{10}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘上 -2。

$$x=\frac{8+10}{3}$$

將 \frac{10}{3} 與 \frac{8}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 5-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-8\times 3}&\frac{6}{6\times 5-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{4}{3}\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 20-\frac{4}{3}\times 8\\-\frac{1}{2}\times 20+8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

讓 6x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 20,6\times 3x+6\times 5y=6\times 8$$

化簡。

$$18x+24y=60,18x+30y=48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+24y=60 減去 18x+30y=48。

$$18x-18x+24y-30y=60-48$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24y-30y=60-48$$

將 24y 加到 -30y。

$$-6y=60-48$$

將 60 加到 -48。

$$-6y=12$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=-2$$

在 3x+5y=8 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5\left(-2\right)=8$$

5 乘上 -2。

$$3x-10=8$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$3x=18$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-2$$