解決{l}{6x+7y=-19}{6x-5y=17} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 19 } \\ { 6 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+7y=-19$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$6x=-7y-19$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-19\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -7y-19。

$$x=-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}$$

在另一個方程式 6x-5y=17 中以 \frac{-7y-19}{6} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6}\right)-5y=17$$

6 乘上 \frac{-7y-19}{6}。

$$-7y-19-5y=17$$

將 -7y 加到 -5y。

$$-12y-19=17$$

將 19 加到方程式的兩邊。

$$-12y=36$$

將兩邊同時除以 -12。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{7}{6}y-\frac{19}{6} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{6}\left(-3\right)-\frac{19}{6}$$

-\frac{7}{6} 乘上 -3。

$$x=\frac{7}{2}-\frac{19}{6}$$

將 -\frac{19}{6} 與 \frac{7}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-7\times 6}&-\frac{7}{6\left(-5\right)-7\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-5\right)-7\times 6}&\frac{6}{6\left(-5\right)-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{72}&\frac{7}{72}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{72}\left(-19\right)+\frac{7}{72}\times 17\\\frac{1}{12}\left(-19\right)-\frac{1}{12}\times 17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+7y=-19,6x-5y=17$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+7y=-19 減去 6x-5y=17。

$$6x-6x+7y+5y=-19-17$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7y+5y=-19-17$$

將 7y 加到 5y。

$$12y=-19-17$$

將 -19 加到 -17。

$$12y=-36$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=-3$$

在 6x-5y=17 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-5\left(-3\right)=17$$

-5 乘上 -3。

$$6x+15=17$$

從方程式兩邊減去 15。

$$6x=2$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=-3$$