解決{l}{6x+15y=360}{8x+10y=440} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=50$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+15y=360$$

從方程式兩邊減去 15y。

$$6x=-15y+360$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -15y+360。

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

在另一個方程式 8x+10y=440 中以 -\frac{5y}{2}+60 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

8 乘上 -\frac{5y}{2}+60。

$$-20y+480+10y=440$$

將 -20y 加到 10y。

$$-10y+480=440$$

從方程式兩邊減去 480。

$$-10y=-40$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=4$$

在 x=-\frac{5}{2}y+60 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

-\frac{5}{2} 乘上 4。

$$x=-10+60$$

將 60 加到 -10。

$$x=50$$

現已成功解出系統。

$$x=50,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=50,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

讓 6x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

化簡。

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 48x+120y=2880 減去 48x+60y=2640。

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

將 48x 加到 -48x。 48x 和 -48x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$120y-60y=2880-2640$$

將 120y 加到 -60y。

$$60y=2880-2640$$

將 2880 加到 -2640。

$$60y=240$$

將兩邊同時除以 60。

$$y=4$$

在 8x+10y=440 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x+10\times 4=440$$

10 乘上 4。

$$8x+40=440$$

從方程式兩邊減去 40。

$$8x=400$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=50$$

現已成功解出系統。

$$x=50,y=4$$