解決{l}{6u+4v=5}{9u-8v=4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

解 u、v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 u: 將 u 單獨置於等號的左邊。

$$6u+4v=5$$

從方程式兩邊減去 4v。

$$6u=-4v+5$$

將兩邊同時除以 6。

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -4v+5。

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

在另一個方程式 9u-8v=4 中以 -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} 代入 u在方程式。

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

9 乘上 -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}。

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

將 -6v 加到 -8v。

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

將兩邊同時除以 -14。

$$v=\frac{1}{4}$$

在 u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} 中以 \frac{1}{4} 代入 v。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

-\frac{2}{3} 乘上 \frac{1}{4} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

將 \frac{5}{6} 與 -\frac{1}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$u=\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 u 和 v。

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

讓 6u 和 9u 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

化簡。

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 54u+36v=45 減去 54u-48v=24。

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

將 54u 加到 -54u。 54u 和 -54u 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36v+48v=45-24$$

將 36v 加到 48v。

$$84v=45-24$$

將 45 加到 -24。

$$84v=21$$

將兩邊同時除以 84。

$$v=\frac{1}{4}$$

在 9u-8v=4 中以 \frac{1}{4} 代入 v。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 u。

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

-8 乘上 \frac{1}{4}。

$$9u-2=4$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$9u=6$$

將兩邊同時除以 9。

$$u=\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$