解決{l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=3$$

$$b=-12$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$2a+b+6=0$$

從方程式兩邊減去 6。

$$2a+b=-6$$

從方程式兩邊減去 b。

$$2a=-b-6$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -b-6。

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

在另一個方程式 -4a+b+24=0 中以 -\frac{b}{2}-3 代入 a在方程式。

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

-4 乘上 -\frac{b}{2}-3。

$$2b+12+b+24=0$$

將 2b 加到 b。

$$3b+12+24=0$$

將 12 加到 24。

$$3b+36=0$$

從方程式兩邊減去 36。

$$3b=-36$$

將兩邊同時除以 3。

$$b=-12$$

在 a=-\frac{1}{2}b-3 中以 -12 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

-\frac{1}{2} 乘上 -12。

$$a=6-3$$

將 -3 加到 6。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=-12$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=3,b=-12$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2a+b+6=0 減去 -4a+b+24=0。

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2a+4a+6-24=0$$

將 2a 加到 4a。

$$6a+6-24=0$$

將 6 加到 -24。

$$6a-18=0$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$6a=18$$

將兩邊同時除以 6。

$$a=3$$

在 -4a+b+24=0 中以 3 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$-4\times 3+b+24=0$$

-4 乘上 3。

$$-12+b+24=0$$

將 -12 加到 24。

$$b+12=0$$

從方程式兩邊減去 12。

$$b=-12$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=-12$$