解決{l}{500=10k+b}{900=20k+b} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 500 = 10 k + b } \\ { 900 = 20 k + b } \end{array} \right.$$

解 k、b

$$k=40$$

$$b=100$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$10k+b=500$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$20k+b=900$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10k+b=500,20k+b=900$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 k: 將 k 單獨置於等號的左邊。

$$10k+b=500$$

從方程式兩邊減去 b。

$$10k=-b+500$$

將兩邊同時除以 10。

$$k=\frac{1}{10}\left(-b+500\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -b+500。

$$k=-\frac{1}{10}b+50$$

在另一個方程式 20k+b=900 中以 -\frac{b}{10}+50 代入 k在方程式。

$$20\left(-\frac{1}{10}b+50\right)+b=900$$

20 乘上 -\frac{b}{10}+50。

$$-2b+1000+b=900$$

將 -2b 加到 b。

$$-b+1000=900$$

從方程式兩邊減去 1000。

$$-b=-100$$

將兩邊同時除以 -1。

$$b=100$$

在 k=-\frac{1}{10}b+50 中以 100 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 k。

$$k=-\frac{1}{10}\times 100+50$$

-\frac{1}{10} 乘上 100。

$$k=-10+50$$

將 50 加到 -10。

$$k=40$$

現已成功解出系統。

$$k=40,b=100$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$10k+b=500$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$20k+b=900$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10k+b=500,20k+b=900$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\20&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-20}&-\frac{1}{10-20}\\-\frac{20}{10-20}&\frac{10}{10-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\900\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 500+\frac{1}{10}\times 900\\2\times 500-900\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\100\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 k 和 b。

$$k=40,b=100$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$10k+b=500$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$20k+b=900$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10k+b=500,20k+b=900$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10k+b=500 減去 20k+b=900。

$$10k-20k+b-b=500-900$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10k-20k=500-900$$

將 10k 加到 -20k。

$$-10k=500-900$$

將 500 加到 -900。

$$-10k=-400$$

將兩邊同時除以 -10。

$$k=40$$

在 20k+b=900 中以 40 代入 k。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$20\times 40+b=900$$

20 乘上 40。

$$800+b=900$$

從方程式兩邊減去 800。

$$b=100$$

現已成功解出系統。

$$k=40,b=100$$