解決{l}{50x+y=200}{60x+y=260} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$50x+y=200,60x+y=260$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$50x+y=200$$

從方程式兩邊減去 y。

$$50x=-y+200$$

將兩邊同時除以 50。

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

\frac{1}{50} 乘上 -y+200。

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

在另一個方程式 60x+y=260 中以 -\frac{y}{50}+4 代入 x在方程式。

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

60 乘上 -\frac{y}{50}+4。

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

將 -\frac{6y}{5} 加到 y。

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

從方程式兩邊減去 240。

$$-\frac{1}{5}y=20$$

將兩邊同時乘上 -5。

$$y=-100$$

在 x=-\frac{1}{50}y+4 中以 -100 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

-\frac{1}{50} 乘上 -100。

$$x=2+4$$

將 4 加到 2。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-100$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$50x+y=200,60x+y=260$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-100$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$50x+y=200,60x+y=260$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 50x+y=200 減去 60x+y=260。

$$50x-60x+y-y=200-260$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$50x-60x=200-260$$

將 50x 加到 -60x。

$$-10x=200-260$$

將 200 加到 -260。

$$-10x=-60$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=6$$

在 60x+y=260 中以 6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$60\times 6+y=260$$

60 乘上 6。

$$360+y=260$$

從方程式兩邊減去 360。

$$y=-100$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-100$$