解決{l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

解 y、z

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$5y-4z=-1$$

將 4z 加到方程式的兩邊。

$$5y=4z-1$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 4z-1。

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

在另一個方程式 -7y+7z=9 中以 \frac{4z-1}{5} 代入 y在方程式。

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

-7 乘上 \frac{4z-1}{5}。

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

將 -\frac{28z}{5} 加到 7z。

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{5}。

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$z=\frac{38}{7}$$

在 y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5} 中以 \frac{38}{7} 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

\frac{4}{5} 乘上 \frac{38}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

將 -\frac{1}{5} 與 \frac{152}{35} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=\frac{29}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 z。

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

讓 5y 和 -7y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

化簡。

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -35y+28z=7 減去 -35y+35z=45。

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

將 -35y 加到 35y。 -35y 和 35y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$28z-35z=7-45$$

將 28z 加到 -35z。

$$-7z=7-45$$

將 7 加到 -45。

$$-7z=-38$$

將兩邊同時除以 -7。

$$z=\frac{38}{7}$$

在 -7y+7z=9 中以 \frac{38}{7} 代入 z。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

7 乘上 \frac{38}{7}。

$$-7y+38=9$$

從方程式兩邊減去 38。

$$-7y=-29$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{29}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$