\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.
解 x、y
x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667
y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333
圖表
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y-\frac{1}{5}x=0
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{5}x。
5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x-y=5
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=y+5
將 y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)
將兩邊同時除以 5。
x=\frac{1}{5}y+1
\frac{1}{5} 乘上 y+5。
-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0
在另一個方程式 -\frac{1}{5}x+y=0 中以 \frac{y}{5}+1 代入 x在方程式。
-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0
-\frac{1}{5} 乘上 \frac{y}{5}+1。
\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0
將 -\frac{y}{25} 加到 y。
\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}
將 \frac{1}{5} 加到方程式的兩邊。
y=\frac{5}{24}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{24}{25},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1
在 x=\frac{1}{5}y+1 中以 \frac{5}{24} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=\frac{1}{24}+1
\frac{1}{5} 乘上 \frac{5}{24} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=\frac{25}{24}
將 1 加到 \frac{1}{24}。
x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}
現已成功解出系統。
y-\frac{1}{5}x=0
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{5}x。
5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}
解出矩陣元素 x 和 y。
y-\frac{1}{5}x=0
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{5}x。
5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0
讓 5x 和 -\frac{x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -\frac{1}{5},以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。
-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0
化簡。
-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 -x+\frac{1}{5}y=-1 減去 -x+5y=0。
\frac{1}{5}y-5y=-1
將 -x 加到 x。 -x 和 x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-\frac{24}{5}y=-1
將 \frac{y}{5} 加到 -5y。
y=\frac{5}{24}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{24}{5},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0
在 -\frac{1}{5}x+y=0 中以 \frac{5}{24} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}
從方程式兩邊減去 \frac{5}{24}。
x=\frac{25}{24}
將兩邊同時乘上 -5。
x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}