解決{l}{5x-y=110}{9y-x=110} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=25$$

$$y=15$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-y=110$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$5x=y+110$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 y+110。

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

在另一個方程式 -x+9y=110 中以 \frac{y}{5}+22 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

-1 乘上 \frac{y}{5}+22。

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

將 -\frac{y}{5} 加到 9y。

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

將 22 加到方程式的兩邊。

$$\frac{44}{5}y=132$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{44}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=15$$

在 x=\frac{1}{5}y+22 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

\frac{1}{5} 乘上 15。

$$x=3+22$$

將 22 加到 3。

$$x=25$$

現已成功解出系統。

$$x=25,y=15$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=25,y=15$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

讓 5x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

化簡。

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x+y=-110 減去 -5x+45y=550。

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-45y=-110-550$$

將 y 加到 -45y。

$$-44y=-110-550$$

將 -110 加到 -550。

$$-44y=-660$$

將兩邊同時除以 -44。

$$y=15$$

在 -x+9y=110 中以 15 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+9\times 15=110$$

9 乘上 15。

$$-x+135=110$$

從方程式兩邊減去 135。

$$-x=-25$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=25$$

現已成功解出系統。

$$x=25,y=15$$