解決{l}{5x-6y=-3}{5x-3y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 3 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-6y=-3$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$5x=6y-3$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-3\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 6y-3。

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

在另一個方程式 5x-3y=3 中以 \frac{6y-3}{5} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)-3y=3$$

5 乘上 \frac{6y-3}{5}。

$$6y-3-3y=3$$

將 6y 加到 -3y。

$$3y-3=3$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$3y=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=2$$

在 x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

\frac{6}{5} 乘上 2。

$$x=\frac{12-3}{5}$$

將 -\frac{3}{5} 與 \frac{12}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{9}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{2}{5}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-6y=-3 減去 5x-3y=3。

$$5x-5x-6y+3y=-3-3$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y+3y=-3-3$$

將 -6y 加到 3y。

$$-3y=-3-3$$

將 -3 加到 -3。

$$-3y=-6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=2$$

在 5x-3y=3 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-3\times 2=3$$

-3 乘上 2。

$$5x-6=3$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$5x=9$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{9}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{5},y=2$$