解決{l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 19y。

$$5x-4y-19y=0$$

合併 -4y 和 -19y 以取得 -23y。

$$5x-23y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-23y=0$$

將 23y 加到方程式的兩邊。

$$5x=23y$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

\frac{1}{5} 乘上 23y。

$$x=\frac{23}{5}y$$

在另一個方程式 5x+2y=71 中以 \frac{23y}{5} 代入 x在方程式。

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

5 乘上 \frac{23y}{5}。

$$23y+2y=71$$

將 23y 加到 2y。

$$25y=71$$

將兩邊同時除以 25。

$$y=\frac{71}{25}$$

在 x=\frac{23}{5}y 中以 \frac{71}{25} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

\frac{23}{5} 乘上 \frac{71}{25} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1633}{125}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 19y。

$$5x-4y-19y=0$$

合併 -4y 和 -19y 以取得 -23y。

$$5x-23y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 19y。

$$5x-4y-19y=0$$

合併 -4y 和 -19y 以取得 -23y。

$$5x-23y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-23y=0 減去 5x+2y=71。

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-23y-2y=-71$$

將 -23y 加到 -2y。

$$-25y=-71$$

將兩邊同時除以 -25。

$$y=\frac{71}{25}$$

在 5x+2y=71 中以 \frac{71}{25} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

2 乘上 \frac{71}{25}。

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

從方程式兩邊減去 \frac{142}{25}。

$$5x=\frac{1633}{25}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1633}{125}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$