\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=-1
圖表
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5x-4y=19,3x+2y=7
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x-4y=19
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=4y+19
將 4y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)
將兩邊同時除以 5。
x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}
\frac{1}{5} 乘上 4y+19。
3\left(\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}\right)+2y=7
在另一個方程式 3x+2y=7 中以 \frac{4y+19}{5} 代入 x在方程式。
\frac{12}{5}y+\frac{57}{5}+2y=7
3 乘上 \frac{4y+19}{5}。
\frac{22}{5}y+\frac{57}{5}=7
將 \frac{12y}{5} 加到 2y。
\frac{22}{5}y=-\frac{22}{5}
從方程式兩邊減去 \frac{57}{5}。
y=-1
對方程式的兩邊同時除以 \frac{22}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{4}{5}\left(-1\right)+\frac{19}{5}
在 x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-4+19}{5}
\frac{4}{5} 乘上 -1。
x=3
將 \frac{19}{5} 與 -\frac{4}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=-1
現已成功解出系統。
5x-4y=19,3x+2y=7
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 19+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=-1
解出矩陣元素 x 和 y。
5x-4y=19,3x+2y=7
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 19,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7
讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。
15x-12y=57,15x+10y=35
化簡。
15x-15x-12y-10y=57-35
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-12y=57 減去 15x+10y=35。
-12y-10y=57-35
將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-22y=57-35
將 -12y 加到 -10y。
-22y=22
將 57 加到 -35。
y=-1
將兩邊同時除以 -22。
3x+2\left(-1\right)=7
在 3x+2y=7 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x-2=7
2 乘上 -1。
3x=9
將 2 加到方程式的兩邊。
x=3
將兩邊同時除以 3。
x=3,y=-1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}