解決{l}{5x-4y=11}{3x+2y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-4y=11$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$5x=4y+11$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 4y+11。

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

在另一個方程式 3x+2y=7 中以 \frac{4y+11}{5} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

3 乘上 \frac{4y+11}{5}。

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

將 \frac{12y}{5} 加到 2y。

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{33}{5}。

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{22}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{1}{11}$$

在 x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5} 中以 \frac{1}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

\frac{4}{5} 乘上 \frac{1}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

將 \frac{11}{5} 與 \frac{4}{55} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{25}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

化簡。

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-12y=33 減去 15x+10y=35。

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-10y=33-35$$

將 -12y 加到 -10y。

$$-22y=33-35$$

將 33 加到 -35。

$$-22y=-2$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=\frac{1}{11}$$

在 3x+2y=7 中以 \frac{1}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

2 乘上 \frac{1}{11}。

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{11}。

$$3x=\frac{75}{11}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{25}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$