\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.
解 x, y
x=5
y=7
圖表
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5x-4y=-3,3x-4y=-13
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
5x-4y=-3
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
5x=4y-3
將 4y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)
將兩邊同時除以 5。
x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}
\frac{1}{5} 乘上 4y-3。
3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13
在另一個方程式 3x-4y=-13 中以 \frac{4y-3}{5} 代入 x在方程式。
\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13
3 乘上 \frac{4y-3}{5}。
-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13
將 \frac{12y}{5} 加到 -4y。
-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}
將 \frac{9}{5} 加到方程式的兩邊。
y=7
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{8}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}
在 x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{28-3}{5}
\frac{4}{5} 乘上 7。
x=5
將 -\frac{3}{5} 與 \frac{28}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=5,y=7
現已成功解出系統。
5x-4y=-3,3x-4y=-13
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)
計算。
x=5,y=7
解出矩陣元素 x 和 y。
5x-4y=-3,3x-4y=-13
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
5x-3x-4y+4y=-3+13
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-4y=-3 減去 3x-4y=-13。
5x-3x=-3+13
將 -4y 加到 4y。 -4y 和 4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
2x=-3+13
將 5x 加到 -3x。
2x=10
將 -3 加到 13。
x=5
將兩邊同時除以 2。
3\times 5-4y=-13
在 3x-4y=-13 中以 5 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
15-4y=-13
3 乘上 5。
-4y=-28
從方程式兩邊減去 15。
y=7
將兩邊同時除以 -4。
x=5,y=7
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}