解決{l}{5x-3y=11}{4x-y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 11 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-3y=11$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$5x=3y+11$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+11\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 3y+11。

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

在另一個方程式 4x-y=2 中以 \frac{3y+11}{5} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-y=2$$

4 乘上 \frac{3y+11}{5}。

$$\frac{12}{5}y+\frac{44}{5}-y=2$$

將 \frac{12y}{5} 加到 -y。

$$\frac{7}{5}y+\frac{44}{5}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{44}{5}。

$$\frac{7}{5}y=-\frac{34}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{34}{7}$$

在 x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5} 中以 -\frac{34}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{34}{7}\right)+\frac{11}{5}$$

\frac{3}{5} 乘上 -\frac{34}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{102}{35}+\frac{11}{5}$$

將 \frac{11}{5} 與 -\frac{102}{35} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{5}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{4}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 11+\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{4}{7}\times 11+\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

讓 5x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 11,5\times 4x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

化簡。

$$20x-12y=44,20x-5y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x-12y=44 減去 20x-5y=10。

$$20x-20x-12y+5y=44-10$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y+5y=44-10$$

將 -12y 加到 5y。

$$-7y=44-10$$

將 44 加到 -10。

$$-7y=34$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=-\frac{34}{7}$$

在 4x-y=2 中以 -\frac{34}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-\left(-\frac{34}{7}\right)=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{34}{7}。

$$4x=-\frac{20}{7}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-\frac{5}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$