解決{l}{5x-2y=7}{2x+7y=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 7 } \\ { 2 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-2y=7$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$5x=2y+7$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+7\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 2y+7。

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}$$

在另一個方程式 2x+7y=-5 中以 \frac{2y+7}{5} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=-5$$

2 乘上 \frac{2y+7}{5}。

$$\frac{4}{5}y+\frac{14}{5}+7y=-5$$

將 \frac{4y}{5} 加到 7y。

$$\frac{39}{5}y+\frac{14}{5}=-5$$

從方程式兩邊減去 \frac{14}{5}。

$$\frac{39}{5}y=-\frac{39}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{39}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{7}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 -1。

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

將 \frac{7}{5} 與 -\frac{2}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}&\frac{2}{39}\\-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}\times 7+\frac{2}{39}\left(-5\right)\\-\frac{2}{39}\times 7+\frac{5}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 7,5\times 2x+5\times 7y=5\left(-5\right)$$

化簡。

$$10x-4y=14,10x+35y=-25$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x-4y=14 減去 10x+35y=-25。

$$10x-10x-4y-35y=14+25$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-35y=14+25$$

將 -4y 加到 -35y。

$$-39y=14+25$$

將 14 加到 25。

$$-39y=39$$

將兩邊同時除以 -39。

$$y=-1$$

在 2x+7y=-5 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+7\left(-1\right)=-5$$

7 乘上 -1。

$$2x-7=-5$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$2x=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$