解決{l}{5x-2y=14}{3x+7y=21} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-2y=14$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$5x=2y+14$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 14+2y。

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

在另一個方程式 3x+7y=21 中以 \frac{14+2y}{5} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

3 乘上 \frac{14+2y}{5}。

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

將 \frac{6y}{5} 加到 7y。

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

從方程式兩邊減去 \frac{42}{5}。

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{41}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{63}{41}$$

在 x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5} 中以 \frac{63}{41} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 \frac{63}{41} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

將 \frac{14}{5} 與 \frac{126}{205} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{140}{41}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

化簡。

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-6y=42 減去 15x+35y=105。

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y-35y=42-105$$

將 -6y 加到 -35y。

$$-41y=42-105$$

將 42 加到 -105。

$$-41y=-63$$

將兩邊同時除以 -41。

$$y=\frac{63}{41}$$

在 3x+7y=21 中以 \frac{63}{41} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

7 乘上 \frac{63}{41}。

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

從方程式兩邊減去 \frac{441}{41}。

$$3x=\frac{420}{41}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{140}{41}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$