解決{l}{5x+y=8}{3x-y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 8 } \\ { 3 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+y=8,3x-y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+y=8$$

從方程式兩邊減去 y。

$$5x=-y+8$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+8\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -y+8。

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

在另一個方程式 3x-y=8 中以 \frac{-y+8}{5} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)-y=8$$

3 乘上 \frac{-y+8}{5}。

$$-\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}-y=8$$

將 -\frac{3y}{5} 加到 -y。

$$-\frac{8}{5}y+\frac{24}{5}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{24}{5}。

$$-\frac{8}{5}y=\frac{16}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{8}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 -2。

$$x=\frac{2+8}{5}$$

將 \frac{8}{5} 與 \frac{2}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+y=8,3x-y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{5\left(-1\right)-3}&\frac{5}{5\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{3}{8}\times 8-\frac{5}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+y=8,3x-y=8$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3y=3\times 8,5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 8$$

化簡。

$$15x+3y=24,15x-5y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+3y=24 減去 15x-5y=40。

$$15x-15x+3y+5y=24-40$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y+5y=24-40$$

將 3y 加到 5y。

$$8y=24-40$$

將 24 加到 -40。

$$8y=-16$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=-2$$

在 3x-y=8 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-\left(-2\right)=8$$

從方程式兩邊減去 2。

$$3x=6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-2$$